一、引言

 

可能很多人觉得数学教学不是个什么了不起的事，老师将概念、定理讲清楚就可以了，至于效果如何，全看学生的悟性。几十年来，我们进行了各个层面上的改革，从课程体系到教材，取得的改革成果是巨大的。但这种改革对于老师的实际课堂教学产生了什么影响？产生了多大影响？只要走进课堂就不难看出来了。实事求是地说，改革与实际的教学之间存在着严重的脱节与不相协调，改革远远没有触及教师的实际教学。

 

与课堂教学相比，课程体系改革，教材改革相对容易很多，因为她涉及的只是课程体系研究者、教材编写者等少数人，然而，课堂教学则涉及到每个教师。教师知识结构的差异、教学态度的差异、表达能力的差异、数学素养与眼界的差异等等都决定了不同的教师注定有着不同的教学风格与教学效果。其中是否存在某些共性的东西对于每一个教师都具有参考价值？我们认为是存在的。

 

二、把教学过程当成科研过程

 

传统的教学注重的是知识传授与技巧的培训，忽略了一个更重要的东西—思想，缺少思想的教育不是教育，而是知识与技能培训。很多人认为，学生掌握了某门课程的知识，会运用这些知识去解决一些问题就足够了，在我看来，这只是低层面上的要求。书本、知识、课堂三者之间是什么关系？大家都知道书本是知识的载体，那么知识与课堂是什么关系？对于这个问题恐怕就见仁见智了。也许很多人认为，课堂是传授知识的场所。我认为只说对了一半，因为知识不是终结目标，它也是一种载体，承载着几十年甚至千百年来前人的智慧，这就是思想，换句话说，知识是思想的载体。老师的任务又是什么？一句话以蔽之，老师的任务是透过书本挖掘隐藏在知识背后的思想并展现给学生，这才是真正的教育。

 

过去我们往往注重于上课的细节，从板书、语言表达、仪态到内容的组织，都讲究一板一眼，恰恰忽略或淡化了思想性。学生从中学到了很多知识，但这些知识都是僵化的，缺少鲜活的灵魂，学生不仅失去了学习的激情，也不知道所学何用，在学生看来，学习的唯一目的是毕业、找工作，至于这些知识与他们日后的生活与工作有什么关系则一无所知。曾经有学生问我：“学习实变函数有什么用？”我答曰：“可能对你毫无用处，也可能让你终身受益，关键看你怎么学，学什么。”

 

如何面对教学？如何处理教学内容？这是每个老师应该认真思考甚至终身思考的问题。虽然我们把教研相长放在嘴上，但在实际工作中则习惯于把教学与科研当成关联不大的两件事，有些人甚至把科研当成了主业，教学不过是糊口的副业。在一个以项目、论文论英雄的时代，老师的选择倒是可以理解。但是，如果一个学校或者老师仅仅把教学为本当成口号，注定将误人子弟。遗憾的是，有一种现象不是个别的，一些年轻人在科研与教学二者之间，义无反顾地将“事业”的天平倾向了科研，站在年轻人的角度，他们的选择一点也不奇怪，科研毕竟是吃青春饭的营生，少壮不努力，老大徒伤悲，但身为教师，教学永远是主业，至少应该教学科研二者并重。

 

这些年，经常有年轻教师听我的课，今年一位洋博士经常去听我的本科生课，也经常与我交流心得，有一次他听到的内容是实变函数中极限与测度的交换顺序问题，具体地说：“可测集列的极限与这些集合的测度序列之极限是否相等？”他问我：“你在介绍这个定理的时候没有直接陈述结论，而是通过对问题的分析最后找到测度与极限可以交换顺序的条件，怎么想到这么讲的？”我笑曰：“只要把讲课的过程当成科学研究的过程就能够想到这么讲。”

 

数学课堂的灵魂是什么？是思想，换句话说，数学教学过程应该是传授思想的过程。思想是通过什么来展现的？是问题，也就是说，数学课堂应该围绕着问题展开。数学发展本来就是个发现问题、分析问题、解决问题的过程，老师的任务则是凭借研究经验，通过合情推理回归这个过程。

 

有点研究经验的人都知道，做研究首先需要选择适当的课题，你首先要清楚为什么选择某个课题？你想解决什么问题？如果你连这些问题都搞不清楚，你的选题必定是盲目的，前景如何就可想而知了。当你选择了一个课题，你需要根据你锁定的问题采用你所能想到的方法与手段去分析、演绎，最终得到你想要的结果。结果也许与你最初的设想有出入，但科学在于探索，如果结果是已知的，也就不成为探索了。科研中有两个能力是必须的：（1）、直觉；（2）逻辑演绎与计算能力。直觉依赖于我们的科学素养与敏锐的“嗅觉”，Weyl在评价Hilbert时曾说过这样的话：“他就像一条嗅觉灵敏的狗，能够敏锐地发现哪里有骨头并奋不顾身地猛扑上去。”很难想象，一个人如果没有了直觉，他能够从纷繁复杂的现象中发现有规律性的东西。逻辑演绎与计算能力是一个人的基本功，没有很强的推演与计算能力，即使有好的设想也变不成结果，永远只能停留在猜想上。直觉可以帮助我们“大胆猜测”，演绎与计算能力可以帮助我们“小心求证”。如果我们的教育不能培养学生这两种能力，很难说我们的教育是成功的。从这个意义上说，教师自身不具备直觉与演绎能力，又如何培养学生的直觉与演绎能力？老师只有具备了科学研究的经历与经验，才能真正做到将教学过程当成科研过程。

 

三、宏观与微观的结合构成完整的课堂教学

 

课堂教学离不开宏观与微观两个部分，所谓宏观即对于一门课程的整体把握，这就好比你选择某个课题，需要先清楚为什么选择这个课题，为了解决什么样的问题。任何一个学科都不是空中楼阁，都有其产生与发展的背景，微积分的产生源于速度、路程、面积、光学等问题，实变函数的产生源于积分与极限交换顺序及积分完备性问题等。老师在开课时应该首先从宏观上把握该课程，向学生讲清楚想解决什么问题，很多概念的出现也就不奇怪了。对学科的宏观把握并不是件困难的事，事实上，任何数学史书都会对某个学科产生与发展做一个详细的描述，老师只要关心一下历史，读一读有关的史书就不难做到。读史书不仅有助于教学，对个人素养与眼界的提高也将助益良多。

 

所谓微观是指对某门课程中具体概念、定理的把握。张奠宙、张荫南先生在[1]、[2]中针对微积分教学首先提出了问题驱动课堂教学的观点，之后陆续有一些研究（参见[3]-[6]）。其实，任何数学课程都应该围绕着问题进行，换言之，由问题驱动课堂教学。因为纵观数学发展史，任何数学理论的产生都是为了解决某些问题，恰恰是在对问题的分析与解决中闪现出数学思想的光芒。很难想象，离开了问题可以谈数学思想。有人把数学称为工具学科，这是对数学狭义的理解，数学更是一门思维科学，是锻炼人的思维能力的学科，如果我们将数学退化为工具，数学也就失去了她无穷的魅力。历史上，数学理论在形成多年后才发挥巨大威力的例子不胜枚举，在某个数学理论在自然科学领域得到应用前，谁能知道他能发挥如此大的作用？只有掌握了数学思想，学会用数学的眼光观察问题，用数学的头脑思考问题，才有可能在未知领域发挥数学的潜能。Halmos[7]说过这样的话：“具备一定的数学修养比具备一定量的数学知识要重要得多。”我深以为然。

 

数学课堂离不开概念、定理、例题三个基本组成部分，如何解释概念？如何讲授定理？这是值得深入探究的问题。有些人认为，把概念的内涵与外延讲清楚就可以了，我觉得远远不够。任何重要概念的产生都有重要的背景，为什么会出现某个概念？为了解决什么问题？如果不弄清楚这些问题，概念也就成了无源之水，无本之木。有人认为，概念产生的背景可能比较复杂，历史也比较久，很难在有限的时间内解释清楚，于是有些老师为了阐述一个概念，杜撰了一些子虚乌有的问题，用来解释概念，这些伪问题不仅。我不这么看，虽然一个概念从产生到得到公认需要经历相当长的时间，但它为什么产生，最终为什么能得到大家认同还是可以解释清楚的。概念课教学应该尊重历史，而不是篡改历史。哲学上有个词：”本原性问题“，即促使事物产生的最初根源，概念课教学恰恰应该由本原性问题来驱动，也就是促使概念产生的那些问题，而不是一些人所理解的由老师精心设计或学生提出来的问题，那不是真正的本原性问题。

 

定理的讲授与概念课有所不同，除了一些著名的定理可以从史书上读到其来龙去脉，大部分定理常常是数学自身逻辑演绎的产物，虽然这些定理的产生也源于某些问题，但这些问题既有可能是本原性的，也有可能不同于本原性问题，我们把它称为派生性问题，它通常是围绕着某些本原性问题派生出来的。例如，在实变函数中，一个函数序列的极限与这个函数序列积分的极限是否可以交换顺序？这是个本原性问题，在很多实际问题中都会涉及它。为了解决这个问题所发展起来的测度论中许多定理则都是派生出来的，为了定义Lebesgue积分，需要先建立测度概念，相信很多老师都清楚如何从积分定义的分析中发现建立测度概念的必要性。对于可测集合序列来说，集合序列极限的测度与这个集合的测度序列的极限能不能交换顺序？这就是个派生性问题。老师在介绍这些定理时不应该像有些传统教学那样先陈述定理然后寻找证明，而应该像做科研一样探讨这些问题，最终发现使得结论成立的条件是什么，这就是所谓的教学过程科研化。

 

有些人认为，对于非数学类专业的学生而言，数学只是个工具，掌握一点数学知识与方法就够了。许多年来这种观点左右了很多老师的教学过程。以微积分教学为例，老师往往将注意力集中在如何计算导数与积分，似乎学生掌握了导数计算、积分计算，就算是学好了微积分了。一些微积分教材也表达了这种观点。我不认同这种观点，在[8]中，我们指出：历史上自然科学、社会科学各个领域取得杰出成就的成功人士（未必是真正意义上的科学家），大到诺贝尔奖获得者，小到各行各业工作岗位上的专业人士，其良好的数学修养发挥了十分重要的作用。对很多领域而言，没有良好的数学修养，难以有大作为。

 

中学数学教育状况如何？相信绝大多数国人都非常清楚，升学考试的压力已经让教师无暇顾及思想，高分压倒一切。然而，高分带来了什么？学生真正懂数学吗？他们除了掌握了一点数学知识，会解题，对数学还知道多少?这是值得每个数学教师认真思考的问题。

 

大学的教育理念是否适合中学数学教育？中学数学课堂教学该围绕着什么进行？这也许是大学数学教育研究与中学一线教学相结合的一个比较好的契合点。有些老师认为，中学课堂不能像大学课堂那样进行，的确，无论是学生的认知能力，还是一节课的容量，中学与大学都不可同日而语。但同为数学课，都离不开数学之魂：思想，从这个意义上说，大学与中学的数学教学是相通的。

 

中学数学课堂通常分概念课、原理课与解题课三个模块，有些人也把它分成五个模块，加上了测评课与实践课，在我看来，最重要的是前三者。有些人认为，一些陈述性概念对中学生是很难讲清楚来龙去脉的，不如简单承认，以后慢慢理解，事实上，很多老师课堂上也是这么教的。问题是老师如何回答“为什么出现这个概念”的问题？如果回答不了这个问题，这个概念算讲清楚了吗？虽然中学数学也一直提倡探究式教学，但遗憾的是，理论上都明白，但在实际教学过程中却习惯了概念--定理--证明的固定程式，似乎很难逾越。在目前的教育现状下，如何兼顾数学思想与数学应试是值得研究的问题（参见[9]—[11]）。

 

四、教师素质是决定课堂教学成败的根本

 

教育的成败在教师，我们一直强调教师要有一颗爱心，要有认真负责的精神，要爱岗敬业，要熟练掌握本门课程的内容，还要懂得教育学、心理学与教学法，仅仅具备这些条件尚不足以成为一个合格教师，文[12]谈到了数学教师应该具备的基本素质。我们认为，一个合格的数学教师至少还应该具备如下两个基本条件：

 

（1）熟悉数学史。如果教师对一门课程的历史一知半解甚至一无所知，很难想象，他能讲清楚这门课程。M.克莱因的《古今数学思想》[13]—[16]是值得每个数学专业的学生与数学教师认真研读的数学史书，不知我们有多少老师阅读过这样的书？如果你不了解历史，你又如何向学生讲清楚一个概念是如何产生的？

 

（2）有一定的科学研究经验。众所周知，书本受篇幅与逻辑体系及严谨性的局限，通常只是概念—定理—证明—例题等知识的简单陈述，很少交待知识的来龙去脉。那些定理是如何发现的？它的价值何在？为了解决什么问题？如何从定理中发现闪光的思想？如何寻找它的证明？老师如果没有一定研究经验的积累，是无法通过合情推理完成课堂教学的，只能依样画葫芦停留在照本宣科的层面上。

 

综上所述，作为教育组成部分甚至是最重要部分的课堂教学并不像有些人想象的那么简单，只要读过博士甚至大学就可以胜任的，它需要老师知道比教材多得多的东西，这就是素养与眼界。

 

师范教育是中小学教育的未来，如何提高师范生的素养，强化师范生的基础，完善师范生的知识结构将决定我国未来中小学数学教育的质量，这个问题将另文讨论。

 

参考文献

 

[1]. 张奠宙,张荫南，新概念: 用问题驱动的数学教学(续)[J].高等数学研究.2004,3(7),8-10。

 

[2]. 张奠宙,张荫南，新概念: 用问题驱动的数学教学(续)[J].高等数学研究.2004,5(7),8-11。

 

[3].徐文斌，杨玉栋，“本原性问题”及其在数学课堂教学中的应用，[J] 数学教育学报,2005,8,14-16。

 

[4]. 杨玉栋，徐文斌，初议“本原性问题驱动课堂教学”，[J]中学教研，2006,5,1-2。

 

[5]. 杨玉栋，徐文斌，本原性问题驱动课堂教学：理念、实践与反思，[J]教育发展研究,2009,20,68-72。

 

[6].上海市控江中学课题组，本原性问题驱动的数学教学实践研究，[J]数学教学，2009,6,4-9。

 

[7].P.R.Halmos,A Hilbert space problem book，American Book Company，1967.

 

[4]. 曹广福，例论非数学专业学生同样需要数学思想，[J] 数学教育学报，2009，18（3）。

 

[9].数学课堂如何兼顾学生数学素养与应试能力，[J] 数学教育学报。

 

[10].Should  we teach what kind of mathematics? Prepeint。

 

[11].问题驱动式教学设计（I），待发表。

 

[12].曹广福，关于数学教育的一些认识——谈谈数学教师素质，[J]数学教育学报,13(1)。

 

[13]. M. 克莱因，古今数学思想（第一册），[M] 上海科学技术出版社，1985。

 

[14]. M. 克莱因，古今数学思想（第二册），[M] 上海科学技术出版社，1985。

 

[15]. M. 克莱因，古今数学思想（第三册），[M] 上海科学技术出版社，1985。

 

[16]. M. 克莱因，古今数学思想（第四册），[M] 上海科学技术出版社，1985。